Слова «просительный» и «просительский» являются паронимами — созвучными и схожими в написании словами, но имеющими разное значение. Слова образуют паронимическую пару части речи имя прилагательное. Тип паронимов: полные. Объясним значение, покажем разницу слов на примерах.
Разница в написании и ударении: проси́тельный и проси́тельский.
Выходишь ... в тёмные сени [коридор] с каменными сводами и кирпичным, выбитым просительскими ногами полом .... (М. Салтыков-Щедрин, «Благонамеренные речи»)
Сравните высказывания: просительное письмо — письмо, выражающее какую-либо или чью-либо просьбу, просительское письмо — письмо просителя.